Odcinkiem poziomym w funkcji \( f: \{ 1, \dots, n \} \rightarrow \{ 1, \dots, m \} \) nazywamy każdy maksymalny zbiór postaci \( \{ i, i + 1, \dots, j \} \), gdzie \( 1 \leq i \leq j \leq n \) oraz \( f(i) = f(i + 1) = \cdots = f(j) \). Znajdź zwarty wzór na łączną liczbę odcinków poziomych we wszystkich funkcjach ze zbioru \( n \)-elementowego w zbiór \( m \)-elementowy, gdzie \( n, m > 0 \).

Uprość sumę $$ \sum_{n_1, n_2, \dots, n_r \in \mathbb{N} \\ n_1 + \cdots + n_r = n} \frac{(-1)^{n_1 + \cdots + n_k}}{n_1! \cdots n_r!} $$ gdzie \( 0 \leq k \leq r \leq n \).

Dla \( k > 2 \) rozważamy graf \( \mathrm{CCC}(k) \) (od ang. cube connected cycles) powstający z hiperkostki \( k \)-wymiarowej przez zastąpienie każdego jej wierzchołka cyklem długości \( k \). Formalnie, wierzchołki są indeksowane parami \( (b, j) \), gdzie \( b = \langle b_0, \dots, b_{k-1} \rangle \) jest ciągiem binarnym długości \( k \), zaś \( j \) — liczbą z zakresu \( 0, ..., k - 1 \); wierzchołek \( (b, j) \) jest połączony krawędziami z \( (b, (j \pm 1) \bmod k ) \) oraz z \( (b', j) \), gdzie \( b' \) to ciąg powstający z \( b \) przez odwrócenie \( j \)-tego bitu. Wyznacz

1. liczbę chromatyczną oraz
2. indeks chromatyczny grafu \( \mathrm{CCC}(k) \)

Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji \( x^3 \equiv 1 \pmod{1323} \) w zbiorze \( \{ 0, 1, \dots, 1322 \} \) i podaj jedno z nich, różne od \( 1 \).