Blokiem w \( n \)-permutacji nazywamy maksymalny spójny fragment złożony z kolejnych liczb. Na przykład, permutacja \( 5671243 \) ma cztery bloki: \( 567 \), \( 12 \), \( 4 \), \( 3 \). Znajdź zwarty wzór na łączną liczbę bloków we wszystkich \( n \)-permutacjach.

Uprość sumę: $$ \sum_{k = 0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n} $$

Udowodnij, że jeśli \(p\) jest nieparzystą liczbą pierwszą, to dla \( n \geq 1 \) zachodzi $$ (p-1)!^{p^{n-1}} \equiv -1 \pmod{p^n} . $$

Każde pole kwadratu \( 3 \times 3 \) malujemy na czerwono lub zielono, a następnie rysujemy na nim jedną z przekątnych. Na ile istotnie różnych sposobów można to zrobić, jeśli dokładnie trzy pola mają być zielone, a dwa obiekty utożsamiamy, gdy jeden przechodzi na drugi przy pewnej izometrii dużego kwadratu?