Niech \( m(T) \) i \( M(T) \) oznaczają, odpowiednio, minimalny i maksymalny stopień wyjściowy w turnieju \( T \).

1. Udowodnij, że jeśli \( T \) jest \( 4n \)-turniejem i \( m(T) \geq n \) oraz \( M(T) \lt 3n \), to \( T \) jest silnie spójny.
2. Dla każdego \( n \gt 0 \) podaj przykład \( 4n \)-turnieju \( T \), w którym \( m(T) \geq n \), \( M(T) \leq 3n \), i który nie jest silnie spójny.

Podaj wzór na funkcję \( f \), taką że \( f(t) \) to liczba kolorowań krawędziowych grafu \( K_4 \) przy pomocy puli \( t \) kolorów.

Zdefiniujmy \( S_p (n) = \sum_{ k=1 }^{ p-1 } k^n \). Udowodnij, że jeśli \( p \gt 3 \) jest liczbą pierwszą, to:

1. istnieje nieskończenie wiele nieparzystych \( n \), takich że \(S_p(n) \equiv 0 \pmod{p^2}\);
2. istnieje nieskończenie wiele parzystych \( n \), takich że \(S_p(n) \not\equiv 0 \pmod{p}\);
3. istnieje nieskończenie wiele parzystych \( n \), takich że \(S_p(n) \equiv 0 \pmod{p}\).

Wskazówka: Rozważ na początek \( n = 2 \).