Skok w permutacji \( \sigma \) zbioru \( \{1, 2, \dots, n \} \) to każda liczba \( k \) spełniająca warunek $$ k = n \quad \text{lub} \quad \sigma(k) \lt \sigma(k + 1) \text{.} $$ Udowodnij, że liczba \( n \)-permutacji, w których najmniejszy skok jest liczbą parzystą,
jest równa liczbie \( n \)-nieporządków.

Uprość sumę: $$ \sum_{\substack{k,\,l,\,m \in \mathbb{N} \\ k + l + m = n}} (\sqrt{3} - 2)^{k-l} m^3 . $$ Wskazówka: Przydatne może okazać się znalezienie funkcji tworzącej ciągu \( \langle n^3 \rangle_{n \geq 0} \).

Wyznacz liczbę rozwiązań kongruencji \( 20^x \equiv 25 \pmod{2025} \) w zbiorze \( \{ 0, 1, \dots, 2024 \} \).

Każdą ścianę czworościanu foremnego malujemy na jeden z dwóch kolorów. Na środkach niektórych ścian dodatkowo umieszczamy po jednej strzałce. Strzałka początkowo wskazuje na jeden z trzech wierzchołków swojej ściany i co sekundę obraca się o 120 stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Oblicz, na ile istotnie różnych sposobów możemy pomalować ściany i rozmieścić strzałki, jeśli dwa sposoby utożsamiamy, gdy jeden przechodzi na drugi przy pewnym obrocie czworościanu i po pewnym czasie.