Udowodnij, że jeśli \( u \) i \( v \) są dwoma wierzchołkami n-wymiarowej hiperkostki \( Q_n \), to w \( Q_n \) istnieje ścieżka Hamiltona o końcach \( u \) i \( v \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( u \) i \( v \) mają różne kolory w 2-kolorowaniu \( Q_n \).

Niech \( G \) będzie grafem sześcianu z dodanymi przekątnymi na dwóch przeciwległych ścianach:

(a) Rozstrzygnij, czy graf \( G \) jest planarny.
(b) Znajdź wielomian chromatyczny \( P_G(x) \).

Znajdź liczbę takich rozwiązań kongruencji \( x^4 \equiv 1 \pmod{11000}\) w zbiorze \( \{ 0, 1, \dots, 10999 \} \), które nie są rozwiązaniami kongruencji \( x^2 \equiv 1 \pmod{11000}\), oraz wyznacz jedno z nich.