Udowodnij tożsamość: $$ \sum_{k} {n+1 \brack k+1} \binom{k}{m} (-1)^{k-m} = {n \brack m} $$

Niech \( a_n \) oznacza liczbę sposobów pokrycia prostokąta \( 2 \times n \) rozłącznymi prostokątami o wymiarach \( 2 \times 1 \) lub \( 1 \times k \) dla \( k \in \mathbb{N}_+ \) (początkowe wyrazy ciągu \( \langle a_n \rangle_{n \ge 0}\) to \( 1, 2, 7, 29, \dots \)). Znajdź \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} \).

Dla \( a > 1 \) niech \( p \) będzie nieparzystą liczbą pierwszą taką, że \( p \nmid a^2 - 1 \). Niech \( n = \frac{a^{2p} - 1}{a^2 - 1} \). Udowodnij, że:

1. liczba n jest całkowita i złożona.
2. \(2p \mid n - 1\).
3. \(a^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}\) (czyli że liczba n jest a-pseudopierwsza).

Graf częściowo skierowany może zawierać zarówno krawędzie nieskierowane, jak i skierowane, np.

(Między dwoma wierzchołkami może być pojedyncza krawędź nieskierowana, pojedyncza krawędź skierowana w jednym z dwóch kierunków, para krawędzi skierowanych w przeciwnych kierunkach, albo brak jakiejkolwiek krawędzi). Znajdź liczbę nieizomorficznych 4-wierzchołkowych grafów częściowo skierowanych.