Niech \( T = (V, E)\) będzie drzewem o parzystej liczbie wierzchołków. Udowodnij, że istnieje taki podzbiór \( S \subseteq E\), że każdy wierzchołek \( v \in V \) jest incydentny z nieparzystą liczbą krawędzi z \(S\).

Dla \( n, m \geq 3\) graf \( D G_{n,m} = (V, E) \) ma wierzchołki w punktach kraty \( n \times m\), a każdy wierzchołek jest połączony z 8 sąsiadami na kracie: poziomo, pionowo i po skosie (ostatni wiersz / kolumna kraty sąsiaduje z pierwszym wierszem / kolumną). Formalnie, $$ V = \{ 0, 1, ..., n-1\} \times \{ 0,1,..., m-1\}, $$ $$ E = \{ \{ (i,j), (i+r, j)\} \cup \{ (i,j), (i, j+s)\} \cup \{ (i, j), (i + r, j + s)\} : (i, j) \in V,r,s \in \{ -1, 1 \} \} $$ gdzie dodawanie na pierwszej współrzędnej w krotce jest modulo \( n \), a na drugiej modulo \( m \).
Znajdź liczbę chromatyczną i indeks chromatyczny grafu \( DG_{10,10}\).

Znajdź  najmniejszą liczbę naturalną \( n \), taką, że istnieje dokładnie \( 16 \) pierwiastków z \( 1 \) modulo \(n \). Wyznacz jeden z tych pierwiastków różny od \( 0 \) i \( n-1 \).