Uprość sumę $$ \sum_{\substack{i,j,k \ge 0 \\ i+j+2k=r}} (-1)^i \binom{n}{i} \binom{n}{j} \binom{n}{k} $$ dla \(n, r \in \mathbb{N}\)

Udowodnić tożsamość $$ \sum_{i=0}^k \sum_{j=0}^m \binom{m}{j} {r \brack i} {m-j \brack k-i} r^{\overline{j}} = {m+r \brack k} $$ dla \(m,k,r \in \mathbb{N}\)

Niech \(a_n\) oznacza liczbę słów \(w\) długości \(n\) zbudowanych z liter A, B, C, takich że liczby wystąpień liter A i B w słowie \(w\) mają jednakową parzystość oraz \(w\) nie zaczyna się i nie kończy literą \(C\). (Początkowe wyrazy ciągu \(\langle a_n \rangle_{n \ge 0}\) to \(1, 0, 4, 4, 20, \dots \)). Znajdź zwarty wzór na \(a_n\).