Udowodnij tożsamość: $$ \sum_{k} \binom{n}{k} \binom{n - k}{p -k} \binom{n-p}{q-k} = \binom{n}{p} \binom{n}{q} $$ dla \(n,p,q \geq 0\).

Niech \( r_n \) oznacza liczbę podziałów \( n \) na różne składniki. Udowodnij, że $$ \sum_{i=0}^n (-1)^i r_i r_{n-i} $$ to liczba podziałów \( n \) na różne składniki parzyste.

Znajdź liczbę rozwiązań kongruencji $$ x^3 \equiv x^2 + x - 1 \pmod{2023} $$ w zbiorze \( \{ 0, 1, \dots , 2023\} \) i wyznacz jedno z nich, różne od \( 1\) i \(2022\).

Malujemy wierzchołki kwadratu na pięć kolorów: Akwamaryna, Biały, Czerwony, Dyniowy, Écru. Dwa sposoby pomalowania utożsamiamy, jeśli jeden przechodzi na drugi przy pewnej izometrii kwadratu oraz, być może przy zamianie par kolorów \( A \leftrightarrow B \) lub \( C \leftrightarrow D\). Na przykład, kwadraty \( \begin{matrix} A & B \\ C & A \end{matrix}\), \( \begin{matrix} C & B \\ B & A \end{matrix}\) i \( \begin{matrix} B & A \\ A & D \end{matrix}\) są dla nas jednakowe, ale różne od \( \begin{matrix} B & A \\ C & A \end{matrix}\). Znajdź liczbę istotnie różnych sposobów pomalowania kwadratu.

Rozwiązanie (link)