Dla \( n > 1 \) znajdź liczbę permutacji zbioru \(\{1, \dots, n\}\), w których każdy cykl zawiera dokładnie jedną liczbę parzystą.

Uporządkowanym podziałem dodatniej liczby całkowitej \(n\), czyli \(n\)-kompozycją nazywamy przedstawienie \(n\) w postaci sumy dodatnich składników, przy czym kolejność składników w tym przedstawieniu jest istotna (np. wszystkie \(3\)-kompozycje to \(1+1+1\), \(1+2\), \(2+1\), \(3\)).

1. Znajdź łączną liczbę wszystkich \(n\)-kompozycji.
2. Udowodnij, że łączna liczba wystąpień liczby \(k < n\) we wszystkich \(n\)-kompozycjach jest równa \( \left( n-k+3 \right) \cdot 2^{n-k-2}\)

Dla \(n > 0\) niech \(A_n\) będzie zbiorem rozwiązań równania: $$ x_1 + 2x_2 + \dots + nx_n = n $$ w liczbach całkowitych nieujemnych oraz $$ B_n = \left\{ \left( x_1, x_2, \dots ,x_n \right) \in A_n \colon \, \forall k \in \{1, \dots, n-1\} \quad x_k > 0 \, \lor \, x_{k+1} = 0 \right\} $$ $$ C_n = \left\{ \left( x_1, x_2, \dots ,x_n \right) \in A_n \colon \, \forall k \in \{1, \dots, n\} \quad x_k = 0 \, \lor \, x_k = 1\right\} $$ Udowodnij, że \( \left| B_n \right| = \left| C_n \right| \).