Uprość sumę \(\sum_{j=0}^{n} (-1)^j \binom{n}{j} \binom{2n-j}{n-j}\).

Powiemy, że ciąg złożony z cyfr \(0, 1, 2, 3, 4\) jest naprzemienny, jeśli bezpośrednio po wystąpieniu cyfry dodatniej nie występuje w nim cyfra dodatnia tej samej parzystości, a bezpośrednio po wystąpieniu \(0\) nie występuje \(0\). Niech \(a_n\) oznacza liczbę naprzemiennych ciągów długości \(n\). Znajdź: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \]

Udowodnij tożsamość: \[ P(x) = \sum_{m\ge 0}\frac{x^{m^2}}{\prod_{k=1}^m(1-x^k)^2}\ , \] gdzie \(P(x)\) to enumerator podziałów liczby.

Wskazówka: