Niech \(a_n\) to liczba podzbiorów zbioru \(\{1, 2,\ldots, n\}\), które nie zawierają trzech kolejnych liczb.

Oblicz \(a_{1000^{1000}} \mod 3\).

Niech \(b_n\) to liczba sposobów ustawienia \(n\) różnych książek na dwóch rozróżnialnych półkach (górnej i dolnej) tak, że na każdej półce musi stać co najmniej jedna książka.

Znaleźć wykładniczą funkcję tworzącą i zwarty wzór na \(b_n\).

Udowodnij, że jeśli graf planarny ma mniej niż \(30\) krawędzi, to zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej \(4\).

Policz na ile sposobów można utworzyć kwadrat \(3 \times 3\) składający się z poniższych płytek \(1 \times 1\).

Kwadraty utożsamiamy ze sobą, jeżeli jeden przechodzi na drugi przy zastosowaniu pewnej izometrii płaszczyznowej.