2015 Pierwsze kolokwium

Zadanie 1

Znajdź liczbę przedstawień liczby naturalnej \(n\) w postaci sumy pewnej liczby nieujemnych składników całkowitych, przy czym istotna jest kolejność składników, a z każdych dwóch składników co najmniej jeden jest dodatni.
PRZYKŁAD: dla \(n=2\) jest 12 takich przedstawień: \(0+1+0+1,\) \(0+1+0+1+0,\) \(0+1+1,\) \(0+1+1+0,\) \(0+2,\) \(0+2+0,\) \(1+0+1,\) \(1+0+1+0,\) \(1+1,\) \(1+1+0,\) \(2,\) \(2+0\).

Zadanie 2

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w losowej \(n\)-permutacji żadne dwie liczby parzyste nie są w tym samym cyklu.

Zadanie 3

Uprość sumę \(\sum\limits_{ p,q,r\in \mathbb{N} p+q+r=n } 2^p3^q5^r \). Zakładamy że \(0\in \mathbb{N}\).