Wiemy, że \( 2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61\), \(\phi(p) = p-1 \) (dla \(p\) będącej liczbą pierwszą), a kongruencja w treści jest równoważna poniższemu układowi: $$ \left\{ \begin{array}{lr} x^{59} \equiv 604\ (mod\ 3) \equiv 1\ (mod\ 3)\\ x^{59} \equiv 604\ (mod\ 11) \equiv 10\ (mod\ 11)\\ x^{59} \equiv 604\ (mod\ 61) \equiv 55\ (mod\ 61) \end{array} \right. $$

\((1)\)

$$ x^{2} \equiv 1\ (mod\ 3) \Rightarrow x^{58} \equiv 1\ (mod\ 3) $$ $$ x^{59} \equiv 1\ (mod\ 3) $$ $$ x \equiv 1\ (mod\ 3) $$

\((2)\)

$$ x^{10} \equiv 1\ (mod\ 11) \Rightarrow x^{60} \equiv 1\ (mod\ 11) $$ $$ x^{59} \equiv 10\ (mod\ 11) $$ $$ x \equiv 10^{-1}\ (mod\ 11) \equiv 10\ (mod\ 11) $$

\((3)\)

$$ x^{60} \equiv 1\ (mod\ 61) $$ $$ x^{59} \equiv 55\ (mod\ 61) $$ $$ x \equiv 55^{-1}\ (mod\ 61) \equiv 10\ (mod\ 61) $$

Otrzymujemy układ kongruencji: $$ \left\{ \begin{array}{lr} x \equiv 1\ (mod\ 3)\\ x \equiv 10\ (mod\ 11)\\ x \equiv 10\ (mod\ 61) \end{array} \right. $$

Teraz z konstruktywnej wersji chińskiego twierdzenia o resztach, możemy wyliczyć, że $$ x \equiv 1 \cdot 671 \cdot 2 + 10 \cdot 183 \cdot 8 + 10 \cdot 33 \cdot 37\ (mod\ 2013) $$ $$ x \equiv 10\ (mod\ 2013) $$