Niech naszym uniwersum \(X\) będą kolorowania grafu \(G\). Niech zdarzeniem \(A_e\) będzie to, że końce krawędzi \(e\) mają jednakowy kolor. Zastanówmy się co to jest \(S_j\). Jest to ilość kolorowań posiadających dokładnie \(j\) własności. To znaczy, że \(j\) krawędzie ma końce tego samego koloru. Ilość takich kolorowań jest równa \( \sum_{T \subseteq G \wedge |T|=2} x^{c(V(G), T)} \), ponieważ wszystkie wierzchołki wewnątrz SS muszą mieć ten sam kolor, a każdą SS możemy kolorować niezależnie na jeden z x kolorów.

W tym momencie korzystamy ze wzoru na ilość elementów posiadających 0 własności - da to nam ilość kolorowań wierzchołkowych grafu na x kolorów - czyli nasz wielomian chromatyczny ;). Jest to $$ D(0) = \sum_{j} (-1)^j S_j = \sum_{T \subseteq E(G)} (-1)^{|T|} x^{c(V(G), T)} $$

Drugi podpunkt jest prostszy. Zauważmy że jak policzymy pochodną i przyłożymy \( x = 0 \) to zostaną nam we wzorze jedynie wyrazy w których po policzeniu pochodnej nie było \(x\), czyli takie gdzie \(x\) był w pierwszej potędze. Czyli ilość spójnych składowych danego podgrafu \(T\) była równa jeden. Czyli \(T\) rozpina \(G\).

Wybrany wyraz będzie pomnożony przez \( (-1)^{|T|} \) zatem gdy ilość krawędzi parzysta to \(1\), a jak nieparzysta to \(-1\). Sumując po wszystkich takich \(T\) dostajemy dokładnie to o co było pytanie w zadaniu.