Zadanie polega na tym, by udowodnić, że lewa strona to funkcja tworząca liczb \({ k\brace n }\) dla ustalonego \(n\). Można to zrobić przez indukcję.

Zauważmy, że dla \(n=0\) lewa strona to \(1\), czyli funkcja jest tworząca dla \({ k\brace 0 } = [k = 0]\). Warunek bazowy jest spełniony. Teraz załóżmy, że funkcja \(\frac{z^{n-1}}{(1-z)(1-2z)...(1-(n-1)z)}\), to funkcja tworząca \({ k\brace n-1 }\) (założenie indukcyjne). Wtedy: $$ \sum_{k}{ k\brace n }z^k = \sum_{k}(n { k-1\brace n } + { k-1\brace n-1 })z^k = nz\sum_{k}{ k-1\brace n}z^{k-1}+z\sum_{k}{ k-1\brace n-1}z^{k-1} = $$ $$ = nz\sum_{k}{ k\brace n}z^{k}+z\sum_{k}{ k\brace n-1}z^{k} $$

W przejściu pierwszym skorzystaliśmy z rekurencji dla liczb Stirlinga. Oznaczmy teraz \(\sum_{k}{ k\brace n }z^k = f(z)\). Wtedy (założenie indukcyjne): $$ f(z)=nzf(z)+z\frac{z^{n-1}}{(1-z)(1-2z)...(1-(n-1)z)} \iff (1-nz)f(z)=\frac{z^{n}}{(1-z)(1-2z)...(1-(n-1)z)} $$ Po przerzuceniu \((1-nz)\) na prawą stronę otrzymujemy szukaną tożsamość.